来自拓扑序的大统一
引力波的发现，揭示了我们的空间是一个可以被扭曲的媒介。可这一媒介的微观结构是什么？空间的本质是什么？为了回答这一问题，我们注意到，空间不仅仅能够承载满足爱因斯坦方程的引力波，它还能承载满足麦克斯韦方程的光波，承载满足狄拉克方程的电子波，承载满足杨-米尔斯方程的胶子波，等等等等。空间的微观结构应当非常丰富，使得它能够演生出所有的基本粒子(也就是承载所有基本粒子所对应的波)。这就是基本子粒子起源的演生观点。这篇文章，介绍了这一方面研究的一些最新进展。它描写了一个能够产生光子、电子、夸克以及所有基本粒子的空间微观结构(但引力子除外)。用行话说，这一微观结构，能够产生光子、电子、夸克，及所有基本粒子的量子场。
——文小刚
许岑珂 （加州大学圣塔芭芭拉分校物理系副教授）
文小刚 （麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）
我们世界的所有物质都是由基本粒子组成。基本粒子有两种：费米子和玻色子。电子、夸克、质子、中子等等是费米子。它们形成了原子，进而组成了各种各样的物质。光子、胶子、引力子等等是玻色子，所有的相互作用都由它们来传递。像光子传递电磁相互作用，而胶子传递夸克之间的强相互作用。
标准模型是描写所有这些基本粒子的理论。它成功地用费米子囊括了宇宙中所有已知的物质（除了本质未知的暗物质以外），并且用杨振宁和米尔斯发明的量子规范场理论描写了除引力子之外的所有玻色子，也就是囊括了除引力以外的其他所有的相互作用。这包括电磁、强、弱等相互作用。而大量的实验也证明了标准模型是个极其精确的理论，实验与理论甚至能在十个有效数字上还能精确比较。这是人类在认知自然的过程中具有里程碑意义的一步。上世纪70年代以来，基本粒子的标准模型的建立，应该可以算作物理学有史以来最伟大的成就之一。随着大型强子对撞机中希格斯玻色子的证实，标准模型中的最后一块砖也被砌上了。这是一个让所有物理学家欢欣鼓舞的发现。
标准模型的巨大成功鼓舞了很多理论家。虽然人们目前还没有实验能力系统地探索超出标准模型的物理，但是理论家们对于标准模型的发展却从未停止。在标准模型提出后不久，各种各样的大统一理论就应运而生。
在标准模型中，电磁、强、弱三种相互作用，是用三个不同的独立的规范理论来描写的。大统一理论是想统一这三种相互作用。其基本思路是用一个较大的规范对称性来涵盖标准模型中用来描述电磁、强、弱等相互作用的三种规范对称性。简单说来，标准模型中各种相互作用的强度相差甚远，是因为这些相互作用是用不同的规范场来描述的。如果用一个统一的规范场描述所有相互作用，那么规范对称性要求所有的相互作用必须有相同的强度，这就是“大统一”的含义。当然，为了和实验吻合，在比较低能的时候，这个统一的规范对称性会被破缺成标准模型中各个独立的规范对称性。但这里所谓的“低能”，也远远高于今天加速器的能标，让人们可望而不可及。因为没有太好的实验手段，大统一模型有各种各样的版本，到底哪个是自然界选择的真实理论，还有待进一步证实。
但是，不管是漂亮的标准模型，还是更加美妙的大统一理论，他们都只是一个量子场论理论。也就是说，它只是一个低能有效理论，其具体微观机制，或者说具体的微观起源并不清楚。利用物理学中的基本常数，人们可以构造出一个基本的长度单位，叫做普朗克长度。普朗克长度的大小大概是1.6x10^(-35)米，比原子核的大小还要小20个数量级。人们一般认为，一个关于现有的标准模型以及量子引力的微观理论，必须建立在普朗克尺度上。这个微观理论应该是自洽和完备的。
但是在简单地分析了标准模型以及大统一理论的构成后，人们发现要构建大统一模型的微观理论，有一个原则性的困难，那就是手征费米子问题，或者更准确地说是手征规范理论的问题。
右手和左手费米子
手征费米子，也叫外尔费米子，是无质量费米子的一个特殊种类。我们知道，所有费米子都带有自旋，也就说它们像陀螺一样绕着自己旋转。我们又知道，在相对论理论中，所有没有质量的粒子都必须以光速运动。而以光速运动的费米子，它的自旋方向有两种：或者和运动方向相同（叫做左手费米子），或者相反（叫做右手费米子）。如果一个量子场论中，左手和右手费米子的数量不同，或者行为不同（具体地说，就是和规范场耦合的方式不同），那么这种理论就叫做手征费米子理论；如果一个理论中，左手和右手的费米子数量和行为都相同，那这种理论叫做非手征的费米子理论。
手征费米子理论中左手和右手费米子的不同，破坏了左右手的对称性。左右手的对称性也叫“宇称”。标准模型中，左右手费米子的行为不同正是李政道杨振宁发现的“宇称不守恒”。因此，描写我们世界的标准模型正好是一个手征费米子理论。上世纪80年代，有一个著名的“不可能”定理，证明了如果采用最通常的量子场论的微观机制，也就是格点量子场论这种做法，是无论如何不能得到手征费米子的[1]。换句话说，所有的费米子都必须左右手成对出现（Fermion doubling）。这一理论最好的印证是最近中国科学家发现的外尔半金属：外尔半金属的低能有效场论中就必须有相同数量的左手和右手费米子。因为标准模型是一个手征理论，所有的包含标准模型的大统一理论也全都是手征费米子理论。比如，著名的SO(10)大统一理论，以及Pati-Salam大统一理论中，每一代费米子都是由16种左手费米子构成的，完全没有右手费米子。
大统一理论的手征性似乎给它们的微观机制（或微观起源）带来了原则性的困难。不管大统一理论在实验上能否被检测到，手征费米子问题都是一个必须解决的理论困难。很多物理学家，尤其是格点规范理论的物理学家们尝试很多年，却也没有得到让人满意的解决办法。这个问题也就被长期搁置了下来。但是，所谓“无心插柳柳成荫”，我们惊喜地发现，最近凝聚态物理理论中关于有短程强相互作用的拓扑物态的研究，却给了我们一个解决这个历史遗留问题的新思路。请注意，这里的短程“强相互作用”，仅仅指的是相互作用的强度，和高能物理中的专业术语“强相互作用”毫无关系。
拓扑物态，如带拓扑序的量子霍尔态以及拓扑绝缘体，是过去二、三十年里凝聚态物理领域最大的进展之一。拓扑物态最明显的特征，就是它的边界。它的边界满足两个重要性质：1，无质量的边界态一定存在；2，无质量边界态只能在体材料的边界存在，而无法在与边界的相同维度的系统中存在。（下面我们把无质量边界态简称为边界态。)比方说，著名的量子霍尔效应，以及自旋量子霍尔效应，他们的体材料是二维的，而边界态是一维的。他们的边界态就无法在一维系统中存在，而只能在二维系统的边界存在。因为这些边界态原则上不能独立于体材料实现，他们就不用符合关于体材料证明的种种定理了。比方说，量子霍尔效应的边界态其实就是一维的无质量手征费米子！也就是说，如果我们的三维宇宙是处在一个“四维量子霍尔态”的边界上，那么它就完全不用符合之前关于手征费米子的“不可能”定理的约束。在二维量子霍尔态的启发下，这个特殊的四维量子霍尔态，由华盛顿大学的Kaplan于1992年找到[2]。
但是仅仅意识到这一点是远远不够的，原因我们知道拓扑物态的边界态只在体材料无限大的时候才能够定义。比方说，量子霍尔效应的手征费米子边界态只在二维体材料足够大的时候才能观察到。如果二维体材料太窄，那么两个相反边界的边界态就会同时出现，给出左右对称的非手征费米子理论，从而让我们得不到手征费米子理论。也就是说，如果我们采用把宇宙定义在四维拓扑物态的边界上的思路，那么我们将面临一个尴尬的处境：如果第四个维度太小，那么我们的宇宙和它相反的另一个边界上的镜像宇宙一起会给出非手征费米子理论；如果第四个维度太大，那我们又很难解释为什么至今看不到第四个维度的存在。
峰回路转。凝聚态理论家们在2009年解决了无相互作用的拓扑物态的完全分类后，将注意力投入到了有短程强相互作用的拓扑物态。目前有很多材料，能实现无相互作用的拓扑绝缘体，但实现有强相互作用的拓扑物态的实际材料非常罕见。所以这一研究基本上是理论家对于自己智力的挑战。但是没有想到的是，这种在凝聚态物理中的纯理论研究，却能很好地解决我们上面提到的关于在4维边界上定义大统一理论的尴尬。
2009年，Fidkowski和Kitaev首次发现，相互作用可以改变某些无相互作用拓扑物态的分类[3]，这在当时是一个出乎大家意料的结果。简单地说，这个结果的意思是，相互作用可以彻底消除掉某些拓扑物态的边界态。但是这个结论有一个条件，那就是这些可以被相互作用消除掉的边界态中的费米子，必须要是某个整数的倍数。而这个整数在四维系统的三维边界上，恰好是16，也就是恰好是大统一理论中的左手费米子的数量！
这个美妙的巧合，让我们看到了解决手征费米子问题的希望。具体的方案是：首先，在四维系统中寻找一个无相互作用的拓扑物态（如Kaplan的四维量子霍尔态），让它的边界有16个手征费米子（我们前面的讨论表明这是完全可能的），并且这16个手征费米子具有和某个大统一理论的规范对称性一致的对称性，以方便我们以后再把它们和恰当的规范场耦合。然后，最为关键的一步是，我们需要证明这边界上的16个手征费米子可以被短程强相互作用完全消除，也就是说，相互作用改变了这个拓扑物态的分类。最后我们在这个系统中加上短程相互作用，并且让相互作用在镜像宇宙中比较强，强到能够消除镜像宇宙中的所有边界手征费米子，得到一个无费米子边界态。这样，我们就可以把第四个维度做得很窄，而整个系统中只剩下了我们这个边界宇宙中的16个手征费米子。这样我们之前提到的尴尬也就迎刃而解了[作者注]。
但是检验这一思路还需要一定时间。其最关键的步骤，就是短程相互作用是否真的能够如我们所愿，消除掉镜像宇宙中的边界态。由于有相互作用的理论，尤其是有较强的相互作用的理论非常难解，我们很大程度上需要依赖于数值计算的验证。在引文[6,7,8,9]中，凝聚态物理学家以及格点规范场论的物理学家，用完全不同的算法，证实了这一机制在2+1维空间中是完全可行的。而且，引文中的计算表明，这一机制只对16个费米子的情况下成立，这又恰恰是大统一理论中手征费米子的数量！对于更高维度空间我们还需要进一步的的数值计算来检验。
如果这个新的办法成立，那它的推广有可能解决理论物理中另一个悬而未决的问题。最近的“物理学的终结”一文中提到了希格斯玻色子质量的问题。希格斯玻色子的质量和普朗克尺度比较起来，实在是太轻了，轻到几乎没有质量。这在物理学中是一个非常不自然的现象。为什么一个原则上有质量的粒子，质量却要比物理学中的基本质量单位轻那么多呢？这个问题被物理学家们称为hierarchy problem。但是如果我们用前面一样的思路，这个问题可能迎刃而解。
2011年，文小刚和他的合作者们受1维Haldane态的启发，发现了“对称性保护拓扑态”（symmetry protected topological states），把拓扑绝缘体的概念从无相互作用费米子系统，推广到了有相互作用费米子系统和有相互作用玻色子系统，并且发现在各个维度的系统中，都有很多玻色子的对称性保护拓扑态。这些系统其基本特征和费米子拓扑物态一样：边界上必须有低质量的玻色子激发，这个玻色子的质量完全不受体材料的能标所限制。我们目前还没有在我们的新思路里加入希格斯玻色子，但是可以想见，如果我们把希格斯玻色子也和其他粒子一样，看作是四维对称性保护拓扑态的边界态，那么很可能就不会有hierarchy problem。这一想法有待于未来我们和其他物理学同行们一同探索。
[作者注]：量子场论的专业人士会知道，有一个“anomalymatching condition”告诉我们，有global anomaly的量子场论是不能被打开能隙的。所以在我们的构造中，我们需要非常小心地保证我们这个相互作用的理论没有任何有global anomaly的对称性。比方说在引文[4,5]中，手征费米子的global U(1)对称性都被短程相互作用直接破缺了。
参考文献
[1]. A no-go theorem for regularizing chiral fermions
H.B. Nielsen and M. Ninomiya
Physics Letters B, Volume 105, 1 October1981, Pages 219–223
[2]. A Method for Simulating Chiral Fermions on the Lattice
D.B. Kaplan
Phys. Lett. B288, 342-347 （1992）, arXiv:hep-lat/9206013
[3]. Effects of interactions on the topological classification of free fermion systems
Lukasz Fidkowski and Alexei Kitaev
Phys. Rev. B 81, 134509 (2010)
[4]. A lattice non-perturbative definition of an SO(10) chiral gauge theory and its induced standard model
Xiao-Gang Wen
Chin. Phys. Lett. (2013) Vol. 30, 111101
[5]. Interacting Topological Insulator and Emergent Grand Unified Theory
Yi-Zhuang You, Cenke Xu
Phys. Rev. B 91, 125147 (2015)
[6]. Exotic Quantum Phase Transitions of (2+1)d Dirac fermions
Kevin Slagle, Yi-Zhuang You, Cenke Xu
Phys. Rev. B 91, 115121 (2015)
[7]. Massive fermions without fermion bilinear condensates
Venkitesh Ayyar, Shailesh Chandrasekharan
Phys. Rev. D 91, 065035 (2015)
[8]. Fermion mass without symmetry breaking
Simon Catterall
arXiv:1510.04153
[9]. Origin of fermion masses without spontaneous symmetry breaking
Venkitesh Ayyar, Shailesh Chandrasekharan
arXiv:1511.09071
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